Herr Häufglöckner führte uns in das Thema Grenzwerte mit einer fundamentalen Erzählung ein, die wahrscheinlich als "Das Gleichnis von der Tafel Schokolade" in die Geschichte eingehen wird.

Der Gedankengang verläuft folgendermaßen:
Die Großeltern besuchen ihre Enkel und bringen eine Tafel Schokolade mit. Diese soll unter einer bestimmten Anzahl von Kindern gleichmäßig aufgeteilt werden.

Nehmen wir einmal den einfachsten Fall an, nämlich dass die Eltern nur ein Kind haben. Ein Kind bekommt die ganze Tafel Schokolade.

Nun schreiten wir fort und nehmen an dass die Familie 2 Kinder hat. Nun bekommt jedes Kind nur noch die Hälfte der Schokolade.

Es soll ja auch Familien geben mit 10 Kindern. Logischerweise erhält dann jedes Kind nur ein Zehntel der Tafel Schokolade.

Nun verallgemeinern wir einmal die Aussage:
Wenn eine Familie n Kinder hat, dann erhält jedes Kind ein n-tel der Schokolade.

Das war ja bis jetzt alles noch einfach. Nun kommen dem Ziel des Gleichnisses schon näher, den Grenzwerten. Man kann die Anzahl der Kinder in der Theorie beliebig weit erhöhen, sogar bis ins Unendliche wenn man will. Doch nähern wir uns der Unendlichkeit erst einmal an mit einem Beispiel aus dem Unterricht. Stellen wir uns vor, die Großeltern hätten eine Tafel Schokolade, und wollen diese an alle Kinder in China verschenken.

Dazu einmal ein paar aktuelle Angaben die nur der Veranschaulichung dienen, die wir aber eigentlich nicht bräuchten: China hat ungefähr 1,3 Milliarden Einwohner. Davon sind 20% unter 14 Jahren, das ist so ziemlich der Teil der Bevölkerung, dem von Oma und Opa noch Schokolade mitgebracht wird. Das sind circa 260.000.0000 (260 Millionen) Kinder. Was für eine Bedeutung hat nun diese Zahl ? Nun, sie ist sehr groß.

Die Zahl der Kinder in China ist unvorstellbar groß. Teilt man nun eine Tafel Schokolade gleichmäßig unter diesen ganzen Kindern aus, so erhält jedes Kind, ihr werdet es schon erraten haben, fast nichts.

Für alle, die wissen wollen, wie viel "fast nichts" ist in diesem Fall: Ich rechne es mit einer 100g-Tafel vor. 100 Gramm geteilt durch die Zahl der Chinesischen Kinder ergibt 0,0000003 Gramm pro Kind. Man könnte auch sagen: 0,3 Mikrogramm. Das kann sich natürlich keiner vorstellen, deshalb nehmen wir mal einen Vergleich: Ein Sandkorn von einer ganz feinen Sandsorte mit einem Korndurchmesser von rund 0,063 Millimetern wiegt auch ungefähr 0,3 Mikrogramm.

Jetzt sind wir an der Stelle, an der wir den Grenzübergang wagen können. Wir nehmen für n die abstrakte Zahl "Unendlich". Wenn man nun weiß, dass mit einer riesengroßen Zahl von Kindern das einzelne Kind fast nichts erhält, dann wird uns klar, dass bei einer unendlichen Anzahl von Kindern jedes Kind gar nichts mehr von der Schokolade sieht.

Das ist nun die erste Grenzwerterfahrung der 12. Klässler im Schuljahr 2008/2009 gewesen. Wenn man eine Zahl durch Unendlich teilt, dann bleibt nichts übrig, das mathematisch korrekte Ergebnis lautet also "0" (Null).

Aber wir können das Spiel auch noch weiter treiben. In unserer Mathestunde näherten wir uns auch einmal dem Grenzwert Null. Ab jetzt beginnt sozusagen die Mathematik für Fans.
Hier sind wir an einem Punkt angelangt, wo das Gleichnis nur noch in der Theorie eine Bedeutung hat.

Man könnte nämlich annehmen, dass jemand nur ein halbes Kind hat. Dieses müsste dann nicht nur eine Tafel Schokolade bekommen, sondern: Zwei. Denn 1 geteilt durch 1/2 ergibt nun einmal 2. Hier, oder nicht viel später haben wir dann letztendlich aufgehört mit den logischen Überlegungen.

Doch wir gehen gleich weiter zum Grenzwert und damit außerhalb des Unterrichtsstoffs. Dieser heißt 0 (oder Ein-Unendlichstel, aber wie wir wissen ist das ja auch Null). Wenn die Großeltern gar keine Enkel haben, dann müssten sie diesem/dieser nicht existierenden Enkel/Enkelin unendlich viele Tafel Schokolade schenken. Vollkommen hirnrissig. Ich wage es sogar denjenigen, der sich das vorstellen kann, als verrückt zu bezeichnen.

Begibt man sich aber in den Minusbereich, dann wird das ganze wieder vollkommen logisch.

Denken wir doch einmal an eine Familie, die minus ein Kind hat.
Minus ein Kind ? Wie soll denn das gehen ? Naja, ganz einfach, die Familie hatte mal ein Kind, und hat dieses wieder abgegeben. Wenn also die Großeltern zu Besuch kommen, dann geben sie dem Kind der Familie minus eine Tafel Schokolade. Das heißt sie nehmen die Tafel wieder mit und geben sie dem Kind, wo auch immer es ist.

Wenn die Familie schon 2 Kinder abgegeben hat (minus zwei Kinder!), dann bekommt jedes Kind minus eine halbe Tafel Schokolade. Genauer: Die Großeltern nehmen die Tafel Schokolade wieder mit, und geben jeweils eine Hälfte davon den Kindern die wo anders sind.

Diese Überlegung könnte man jetzt bis zu minus Unendlich ausweiten, aber wer jetzt gut mitgedacht hat, kommt auch von alleine darauf was dann passiert.

So, und jetzt haben wir endlich verstanden, wie Grenzwerte funktionieren, mit einer kleinen Hilfe von unserem genialen Mathematiklehrer.